jueves, 12 de junio de 2008
Metodología de solución:
Para entender la metodología de solución podemos remitirnos al siguiente ejemplo:
Una pequeña empresa produce sillas y mesas. Cada silla vendida representa una ganancia neta de $3000 y cada mesa $5000. Se dispone de 30 Horas Hombre de capacidad de corte y fabricación por día y 18 Horas hombre de capacidad de terminado y pintura por día. Igualmente existe un suministro de madera de 30 tablas diarias. Se asume por ahora que esta capacidad no es modificable a corto plazo y que la empresa puede vender toda su producción, no necesariamente en juegos completos
Se tiene que para corte y fabricación 1 silla demora 2 horas y una mesa 1 hora
Se sabe que para acabado una silla y una mesa demoran 1 hora cada una
Y que el consumo de madera es de 1 tabla para una silla y de 2 tablas para una mesa.
Se desea saber cuantas sillas y cuantas mesas deberán fabricarse para maximizar las ganancias diarias de la empresa.
a) Encuentre el modelo matemático del PPL en dos variables.
se entiende esta ecuación como n2 por que son dos variables (Sillas y Mesas) y se entiende según el postulado que lo que se busca es maximizar las utilidades que corresponden en $3000 y $5000 por cada producto
Y m=3 ya que se encuentran 3 restricciones estipuladas en las Horas Hombre de de corte y fabricación y de de terminado y pintura y por la cantidad de madera consumida y disponible.
b) Encuentre las ecuaciones normalizadas de las rectas límite de las restricciones.
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c) Tomando en consideración los puntos de corte definidos en las ecuaciones normalizadas, dibuje los ejes coordenados con una escala apropiada.
v
d) Dibuje en los ejes coordenados las rectas límite de las restricciones e identifique el lugar geométrico que cada restricción representa en el plano.
e) Identifique y destaque la “ZONA DE SOLUCIONES FACTIBLES”, definida como el conjunto intersección de todos los lugares geométricos que las restricciones representan en el plano.
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f) Dibuje una de las rectas de la familia de rectas que la F.O. representa en el plano, dando un valor arbitrario a Z, pero adecuado a la escala de los ejes coordenados y denomínela “Recta Objetivo de Referencia” (r.o.r.).
g) Dependiendo si la F.O. es de maximización o de minimización, traslade la recta paralelamente, en el sentido de aumento o disminución de Z, hasta que esta toque un punto extremo de la zona de soluciones factibles. Identifique dicho punto como óptimo máximo u óptimo mínimo.
h) Para encontrar las coordenadas del punto óptimo resuelva el sistema de ecuaciones de las rectas límite cuya intersección define dicho punto.
i) Para encontrar el valor óptimo de Z reemplace las coordenadas del punto óptimo en la función objetivo.
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Una pequeña empresa produce sillas y mesas. Cada silla vendida representa una ganancia neta de $3000 y cada mesa $5000. Se dispone de 30 Horas Hombre de capacidad de corte y fabricación por día y 18 Horas hombre de capacidad de terminado y pintura por día. Igualmente existe un suministro de madera de 30 tablas diarias. Se asume por ahora que esta capacidad no es modificable a corto plazo y que la empresa puede vender toda su producción, no necesariamente en juegos completos
Se tiene que para corte y fabricación 1 silla demora 2 horas y una mesa 1 hora
Se sabe que para acabado una silla y una mesa demoran 1 hora cada una
Y que el consumo de madera es de 1 tabla para una silla y de 2 tablas para una mesa.
Se desea saber cuantas sillas y cuantas mesas deberán fabricarse para maximizar las ganancias diarias de la empresa.
a) Encuentre el modelo matemático del PPL en dos variables.
se entiende esta ecuación como n2 por que son dos variables (Sillas y Mesas) y se entiende según el postulado que lo que se busca es maximizar las utilidades que corresponden en $3000 y $5000 por cada producto
Y m=3 ya que se encuentran 3 restricciones estipuladas en las Horas Hombre de de corte y fabricación y de de terminado y pintura y por la cantidad de madera consumida y disponible.
b) Encuentre las ecuaciones normalizadas de las rectas límite de las restricciones.
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Se realiza el mismo procedimiento con la restricción 2 y 3
c) Tomando en consideración los puntos de corte definidos en las ecuaciones normalizadas, dibuje los ejes coordenados con una escala apropiada.
v
d) Dibuje en los ejes coordenados las rectas límite de las restricciones e identifique el lugar geométrico que cada restricción representa en el plano.
e) Identifique y destaque la “ZONA DE SOLUCIONES FACTIBLES”, definida como el conjunto intersección de todos los lugares geométricos que las restricciones representan en el plano.
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f) Dibuje una de las rectas de la familia de rectas que la F.O. representa en el plano, dando un valor arbitrario a Z, pero adecuado a la escala de los ejes coordenados y denomínela “Recta Objetivo de Referencia” (r.o.r.).
g) Dependiendo si la F.O. es de maximización o de minimización, traslade la recta paralelamente, en el sentido de aumento o disminución de Z, hasta que esta toque un punto extremo de la zona de soluciones factibles. Identifique dicho punto como óptimo máximo u óptimo mínimo.
h) Para encontrar las coordenadas del punto óptimo resuelva el sistema de ecuaciones de las rectas límite cuya intersección define dicho punto.
i) Para encontrar el valor óptimo de Z reemplace las coordenadas del punto óptimo en la función objetivo.
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Para determinar el punto optimo graficamos la función objetivo dándole a este dos valores sucesivos cualquiera y observamos la dirección e n la que aumenta, si Z= a 15.000 observamos que los puntos en X 1 es igual a 5 y en X2 igual a 3; si Z= 30.000 observamos que X1 es igual 10 y X2 Igual a 6, lo que nos denota un crecimiento paralelo tendiente a encontrar el punto de intersección C dándonos este como el punto factible de solución
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La solución factible serian en X1 6 sillas y en X2 12 mesas
Reemplazamos en la ecuación
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La solución factible serian en X1 6 sillas y en X2 12 mesas
Reemplazamos en la ecuación
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Se pede saber mas sobre el tema en
SOLUCION GRAFICA DE PPL
Repaso de Geometría Analítica Plana
a) La ecuación aX + bY = c representa en el plano una recta de pendiente
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a) La ecuación aX + bY = c representa en el plano una recta de pendiente
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b) La ecuación.png)
representa en el plano una recta que pasa por el origen de coordenadas.
c) En la ecuación normalizada de la recta.png)
los términos .png)
representan los puntos de corte de los ejes X e Y, respectivamente.
d) La función ,.png)
con Z una constante indeterminada, representa en el plano a una familia de rectas paralelas.
e) La inecuación.png)
representa un área que se inicia en la recta .png)
y se extiende acercándose hacia el origen de coordenadas.
f) La inecuación.png)
representa un área que se inicia en la recta .png)
y se extiende alejándose del origen de coordenadas.
g) La solución (X0,Y0) del sistema de ecuaciones indica las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.
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representa en el plano una recta que pasa por el origen de coordenadas.c) En la ecuación normalizada de la recta
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representan los puntos de corte de los ejes X e Y, respectivamente.d) La función ,
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con Z una constante indeterminada, representa en el plano a una familia de rectas paralelas.e) La inecuación
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y se extiende acercándose hacia el origen de coordenadas.f) La inecuación
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PROGRAMACION LINEAL
DONDE :
Z = Representa un parámetro o cantidad que se desea optimizar (Maximizar o Minimizar). Ej.: Ingresos, Utilidades, Costos, Tiempo de ejecución de un trabajo, etc.
cj = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
Xj = VARIABLES DE DECISION
aij = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
bi = Valor que representa la disponibilidad de un recurso (Limitación), límites de producción, disponibilidad de materia prima, disponibilidad de horas hombre, etc., o un requerimiento como demanda, compromisos de entrega, etc. Todas ellas forman parte de las restricciones del entorno. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
n = Cantidad de Variables de Decisión.
m = Cantidad de Restricciones.
n no necesariamente debe ser igual a m
Z = Representa un parámetro o cantidad que se desea optimizar (Maximizar o Minimizar). Ej.: Ingresos, Utilidades, Costos, Tiempo de ejecución de un trabajo, etc.
cj = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
Xj = VARIABLES DE DECISION
aij = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
bi = Valor que representa la disponibilidad de un recurso (Limitación), límites de producción, disponibilidad de materia prima, disponibilidad de horas hombre, etc., o un requerimiento como demanda, compromisos de entrega, etc. Todas ellas forman parte de las restricciones del entorno. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
n = Cantidad de Variables de Decisión.
m = Cantidad de Restricciones.
n no necesariamente debe ser igual a m
Modelo General De Programacion Lineal
Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración.
Z = valor de la medida global de efectividad
Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)
aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j
Estructura de un modelo
Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza.
Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.
Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.
Z = valor de la medida global de efectividad
Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)
aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j
Estructura de un modelo
Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza.
Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.
Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
El problema general es asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima).
Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas
El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo
Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas
El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo
METODOLOGÍA
Definición del problema
Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.
Formulación de un modelo matemático
La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.
Obtención de una solución a partir del modelo
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.
La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos:
a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática;
b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error;
c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.
Prueba del modelo
Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar
Validación del modelo
Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible.
Establecimiento de controles sobre la solución
Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema.
Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
Implantación de la solución
El paso final se inicia con el proceso de implantar los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los procesos y tareas evaluadas.
Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.
Formulación de un modelo matemático
La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.
Obtención de una solución a partir del modelo
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.
La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos:
a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática;
b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error;
c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.
Prueba del modelo
Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar
Validación del modelo
Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados del modelo se comporten de una manera factible.
Establecimiento de controles sobre la solución
Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema.
Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
Implantación de la solución
El paso final se inicia con el proceso de implantar los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los procesos y tareas evaluadas.
¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?
La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.
Aspectos a rescatar de la definición
• Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.
• La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.
• La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo
Aspectos a rescatar de la definición
• Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.
• La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.
• La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo
NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización.
La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración
La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración
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