jueves, 12 de junio de 2008
Metodología de solución:
Para entender la metodología de solución podemos remitirnos al siguiente ejemplo:
Una pequeña empresa produce sillas y mesas. Cada silla vendida representa una ganancia neta de $3000 y cada mesa $5000. Se dispone de 30 Horas Hombre de capacidad de corte y fabricación por día y 18 Horas hombre de capacidad de terminado y pintura por día. Igualmente existe un suministro de madera de 30 tablas diarias. Se asume por ahora que esta capacidad no es modificable a corto plazo y que la empresa puede vender toda su producción, no necesariamente en juegos completos
Se tiene que para corte y fabricación 1 silla demora 2 horas y una mesa 1 hora
Se sabe que para acabado una silla y una mesa demoran 1 hora cada una
Y que el consumo de madera es de 1 tabla para una silla y de 2 tablas para una mesa.
Se desea saber cuantas sillas y cuantas mesas deberán fabricarse para maximizar las ganancias diarias de la empresa.
a) Encuentre el modelo matemático del PPL en dos variables.
se entiende esta ecuación como n2 por que son dos variables (Sillas y Mesas) y se entiende según el postulado que lo que se busca es maximizar las utilidades que corresponden en $3000 y $5000 por cada producto
Y m=3 ya que se encuentran 3 restricciones estipuladas en las Horas Hombre de de corte y fabricación y de de terminado y pintura y por la cantidad de madera consumida y disponible.
b) Encuentre las ecuaciones normalizadas de las rectas límite de las restricciones.
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c) Tomando en consideración los puntos de corte definidos en las ecuaciones normalizadas, dibuje los ejes coordenados con una escala apropiada.
v
d) Dibuje en los ejes coordenados las rectas límite de las restricciones e identifique el lugar geométrico que cada restricción representa en el plano.
e) Identifique y destaque la “ZONA DE SOLUCIONES FACTIBLES”, definida como el conjunto intersección de todos los lugares geométricos que las restricciones representan en el plano.
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f) Dibuje una de las rectas de la familia de rectas que la F.O. representa en el plano, dando un valor arbitrario a Z, pero adecuado a la escala de los ejes coordenados y denomínela “Recta Objetivo de Referencia” (r.o.r.).
g) Dependiendo si la F.O. es de maximización o de minimización, traslade la recta paralelamente, en el sentido de aumento o disminución de Z, hasta que esta toque un punto extremo de la zona de soluciones factibles. Identifique dicho punto como óptimo máximo u óptimo mínimo.
h) Para encontrar las coordenadas del punto óptimo resuelva el sistema de ecuaciones de las rectas límite cuya intersección define dicho punto.
i) Para encontrar el valor óptimo de Z reemplace las coordenadas del punto óptimo en la función objetivo.
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Una pequeña empresa produce sillas y mesas. Cada silla vendida representa una ganancia neta de $3000 y cada mesa $5000. Se dispone de 30 Horas Hombre de capacidad de corte y fabricación por día y 18 Horas hombre de capacidad de terminado y pintura por día. Igualmente existe un suministro de madera de 30 tablas diarias. Se asume por ahora que esta capacidad no es modificable a corto plazo y que la empresa puede vender toda su producción, no necesariamente en juegos completos
Se tiene que para corte y fabricación 1 silla demora 2 horas y una mesa 1 hora
Se sabe que para acabado una silla y una mesa demoran 1 hora cada una
Y que el consumo de madera es de 1 tabla para una silla y de 2 tablas para una mesa.
Se desea saber cuantas sillas y cuantas mesas deberán fabricarse para maximizar las ganancias diarias de la empresa.
a) Encuentre el modelo matemático del PPL en dos variables.
se entiende esta ecuación como n2 por que son dos variables (Sillas y Mesas) y se entiende según el postulado que lo que se busca es maximizar las utilidades que corresponden en $3000 y $5000 por cada producto
Y m=3 ya que se encuentran 3 restricciones estipuladas en las Horas Hombre de de corte y fabricación y de de terminado y pintura y por la cantidad de madera consumida y disponible.
b) Encuentre las ecuaciones normalizadas de las rectas límite de las restricciones.
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Se realiza el mismo procedimiento con la restricción 2 y 3
c) Tomando en consideración los puntos de corte definidos en las ecuaciones normalizadas, dibuje los ejes coordenados con una escala apropiada.
v
d) Dibuje en los ejes coordenados las rectas límite de las restricciones e identifique el lugar geométrico que cada restricción representa en el plano.
e) Identifique y destaque la “ZONA DE SOLUCIONES FACTIBLES”, definida como el conjunto intersección de todos los lugares geométricos que las restricciones representan en el plano.
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f) Dibuje una de las rectas de la familia de rectas que la F.O. representa en el plano, dando un valor arbitrario a Z, pero adecuado a la escala de los ejes coordenados y denomínela “Recta Objetivo de Referencia” (r.o.r.).
g) Dependiendo si la F.O. es de maximización o de minimización, traslade la recta paralelamente, en el sentido de aumento o disminución de Z, hasta que esta toque un punto extremo de la zona de soluciones factibles. Identifique dicho punto como óptimo máximo u óptimo mínimo.
h) Para encontrar las coordenadas del punto óptimo resuelva el sistema de ecuaciones de las rectas límite cuya intersección define dicho punto.
i) Para encontrar el valor óptimo de Z reemplace las coordenadas del punto óptimo en la función objetivo.
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Para determinar el punto optimo graficamos la función objetivo dándole a este dos valores sucesivos cualquiera y observamos la dirección e n la que aumenta, si Z= a 15.000 observamos que los puntos en X 1 es igual a 5 y en X2 igual a 3; si Z= 30.000 observamos que X1 es igual 10 y X2 Igual a 6, lo que nos denota un crecimiento paralelo tendiente a encontrar el punto de intersección C dándonos este como el punto factible de solución
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La solución factible serian en X1 6 sillas y en X2 12 mesas
Reemplazamos en la ecuación
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La solución factible serian en X1 6 sillas y en X2 12 mesas
Reemplazamos en la ecuación
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Se pede saber mas sobre el tema en
SOLUCION GRAFICA DE PPL
Repaso de Geometría Analítica Plana
a) La ecuación aX + bY = c representa en el plano una recta de pendiente
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a) La ecuación aX + bY = c representa en el plano una recta de pendiente
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b) La ecuación.png)
representa en el plano una recta que pasa por el origen de coordenadas.
c) En la ecuación normalizada de la recta.png)
los términos .png)
representan los puntos de corte de los ejes X e Y, respectivamente.
d) La función ,.png)
con Z una constante indeterminada, representa en el plano a una familia de rectas paralelas.
e) La inecuación.png)
representa un área que se inicia en la recta .png)
y se extiende acercándose hacia el origen de coordenadas.
f) La inecuación.png)
representa un área que se inicia en la recta .png)
y se extiende alejándose del origen de coordenadas.
g) La solución (X0,Y0) del sistema de ecuaciones indica las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.
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representa en el plano una recta que pasa por el origen de coordenadas.c) En la ecuación normalizada de la recta
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representan los puntos de corte de los ejes X e Y, respectivamente.d) La función ,
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con Z una constante indeterminada, representa en el plano a una familia de rectas paralelas.e) La inecuación
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representa un área que se inicia en la recta .png){kind=small}
y se extiende acercándose hacia el origen de coordenadas.f) La inecuación
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y se extiende alejándose del origen de coordenadas.g) La solución (X0,Y0) del sistema de ecuaciones indica las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.
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PROGRAMACION LINEAL
DONDE :
Z = Representa un parámetro o cantidad que se desea optimizar (Maximizar o Minimizar). Ej.: Ingresos, Utilidades, Costos, Tiempo de ejecución de un trabajo, etc.
cj = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
Xj = VARIABLES DE DECISION
aij = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
bi = Valor que representa la disponibilidad de un recurso (Limitación), límites de producción, disponibilidad de materia prima, disponibilidad de horas hombre, etc., o un requerimiento como demanda, compromisos de entrega, etc. Todas ellas forman parte de las restricciones del entorno. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
n = Cantidad de Variables de Decisión.
m = Cantidad de Restricciones.
n no necesariamente debe ser igual a m
Z = Representa un parámetro o cantidad que se desea optimizar (Maximizar o Minimizar). Ej.: Ingresos, Utilidades, Costos, Tiempo de ejecución de un trabajo, etc.
cj = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
Xj = VARIABLES DE DECISION
aij = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
bi = Valor que representa la disponibilidad de un recurso (Limitación), límites de producción, disponibilidad de materia prima, disponibilidad de horas hombre, etc., o un requerimiento como demanda, compromisos de entrega, etc. Todas ellas forman parte de las restricciones del entorno. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico.
n = Cantidad de Variables de Decisión.
m = Cantidad de Restricciones.
n no necesariamente debe ser igual a m
Modelo General De Programacion Lineal
Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración.
Z = valor de la medida global de efectividad
Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)
aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j
Estructura de un modelo
Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza.
Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.
Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.
Z = valor de la medida global de efectividad
Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)
aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j
Estructura de un modelo
Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza.
Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.
Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.
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